あなたは人の痛みがわかる人間だと信じてるって英語でなんて言うの？

「other people's pain」でもいいですが、「others' pain」だけで大丈夫です。（others = other people）
「人間」はよく「humans」「human beings」にしますが、その英訳はこのケースに合ってないです。動物か宇宙人に比べているときに「humans」を使いますが、そうじゃないときに「person」や「people」の方が自然です。

understandではなく、ここではfeelを使いました。feelの方が考えるのではなく感じて理解するというニュアンスが出るのでfeelを選びました。

the pain of othersは、他人の痛みという意味ですね。

ご参考になれば幸いです。