古いスタイルではなくて最先端の街だよって英語でなんて言うの？

One of the most modern cities in the world.(世界で最も現代的な都市の一つだ）

日本語ではモダンはレトロな雰囲気の言葉になってしまっていますが、これはラテン語の「ちょうど今」という言葉から生まれた言葉なので、英語では特に古くもなくて「現代の」と言う意味で普通に使います。

Tokyo is a city full of cutting -edge technologies.（東京は最先端技術でいっぱいの都市です）cutting -edge は、技術分野で最先端を表す言葉です。ただし都市の形容詞には使えないので注意して下さい。同じような言葉にstate of art がありますが、これも機械や設備、せいぜい大きくてもビル止まりなので都市や雰囲気の形容詞には使わないで下さいね。
他に最先端を表す言い方には、up to date やlatestなどがあります。
Things in Tokyo are up to date.

It is an ever growing city of the 21 century（成長を続ける21世紀の都市だよ）

実は東京は京都のような古都ではなくてと言われても東京に古い日本が残っているところにに魅力を感じる外国人は多いので、こう言う言い方はどうでしょう？

古いスタイルの言い方

old-fashionedのイメージは昔ながら、５０年ぐらい前のスタイルです。
oldだと、old-fashionedより昔という意味として使えます。
たとえば、
old englishは１０００年前の英語からシェイクスピアの時代までの英語です。

ancientはとても昔という意味です。たとえば中世、室町時代、平安時代以上。

最先端の言い方
high-techは技術のことを強調します。最新技術を使用するものはhigh-techです。
modernは現代の意味です。
たとえば、
modern artとは２０世紀の美術です。