紙の裏表を間違えたって英語でなんて言うの？

表面に絵を描きたかったので、裏面はこの場合、"間違った面"になります。

I drew on the wrong side of paper.
（間違った面に絵を描いてしまった。）

これが、意図的に裏面に書くものだとしたら、on the back of the paper になります。
Write your name on the back of this paper.
（この紙の裏に名前を書いてください。）

直訳は「私は紙の裏面を使った」ですが、
裏表を間違えた場合はこのように言えばOKです。

wrong sideは「（紙や生地などの）裏面」という意味です。