直訳すると、「to reach the itchy place」になりますが、本当はそういう意味じゃないんですね。英語のネイティブに「The hospital really reached an itchy place for me」というと、通じません。
その旅館はかゆい所に手が届くようにしてくれた。
That ryokan was really attentive to my needs.
I was really impressed by their service. They know what they are doing
直訳は「彼らは自分たちが何をやっているか分かっている」（口語）ですが、この文脈で言えば、「自分たちの業界のことや、お客さんのニーズをよくわかっている」という意味になります。
"I was really impressed by their service. They know what they are doing"と言えば、「彼らのサービスには関心した。彼らは色々とよくわかっている=本当にかゆい所によく手が届く」です。
「かゆいところに手が届く」というのはお客さんの望むことを察して（理解して）行動できるということですから、こんな訳もありかと思います。
suit your every need
「あなたの求める全てのものに合っている」
Services that suit your every need. は、
「あなたが要求すること全てに応じられるサービス」という意味になります。
「私たちは痒いところに手が届くサービスを提供します。」は
We provide services that suit your every need. になります。
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