（病院の）紹介状をもらえますかって英語でなんて言うの？

紹介状はa letter of referenceと言います。
letter = 手紙

ドクターに頼むのでちょっと丁寧に、Could you ~ ? Could I have ~ ?　
のような表現がいいと思います。
紹介状を書いてもらうタイミングはだいたい次にどの専門医にかかるか分かっていると思うので文末の表現はthe doctorとしましたが、病院にしたい場合はthe hospitalに代えてください

letter of referenceのことを、病院では一般にreferralと呼びます（アメリカ）。
specialist=専門医
I need a referral.とだけ言えば、すぐにわかってもらえると思います。
紹介先では、I was referred by Dr. XXX（個人病院の医師）.と伝えればOKです。

紹介状は、Goodmanさんの letter of reference、または reference letter でもいいです。

紹介なのでintroductionでも悪くはありませんが、問題の解決などを「委ねる、任せる」という意味のreferによるreferenceがふさわしいでしょう。

「〜してもらえますか」はCould I have としましたが、Can I have でも失礼ではありません。

上の文では、お医者さんが自分の知っている病院名を出している状況での会話と考えて
"the" hospital としました。