彼は私に諦めない心と夢を持つことの大切さを教えてくれた。って英語でなんて言うの？

「諦めない心」は「諦めないこと」としました。「心」を訳して入れると、
never give up mindですが、ちょっと違和感なので敢えて入れませんでした。

「夢を持つこと」は「夢を諦めないこと」として
never give up on your dream

とてもいい文ですね。

＜ボキャブラリー＞
taught me = 教えてくれた
never give up = 決して諦めない
showed me = 見せてくれた、示してくれた
importance = 大切さ
dream = 夢

to never give up, never giving up, 諦めないこと、
having a dream in my life　人生に夢を持つこと
He taught me the importance of 〜　彼は〜の重要性を教えてくれた

３つの回答をしました。
１つ目は、「彼は、夢を諦めないことの大切さを教えてくれた」という理解で訳しています。

２つ目は、「彼は、夢を信じることを諦めないことは大切であると教えてくれた」というニュアンスです。

３つ目は、「彼は、２つのことを教えてくれた。諦めないこと、夢を持ち続けること。」という訳になります。

どの文章も原文の意味に沿っていると思いますが、何を強調したいかによってどの訳文にするか変わりますが、個人的には、３の訳文をお勧めします。
2文に分けることで聞き手にとってわかりやすい文章構造になっていると思うからです。
日本語の一文が長い場合、英訳するときには２文にするなど、原文にとらわれない翻訳をすることが大事です。