回答
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"Overwhelming sorrow."
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It is with the deepest regret/sadness that ...
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It deeply pains me to (have to) do this, but ...
「断腸の思い」は英語で heartbroken thoughts / heartrending grief / overwhelming sorrow などで英訳出来ます。
一番自然な英語は場合によって異なることもありますが、「大変重い決断の上での行為」というような文脈なら〜
"It is with the deepest regret/sadness that ... " 又は
"It deeply pains me to (have to) do this, but ... "
が一番ふさわしい表現になると思います。
ご参考になれば幸いです。