Ask your university to issue you a Certificate of In-Campus Dormitory Residency for your stay.
Ask your university to issue you a dormitory identification card during your stay.
「在寮証明書を大学から発行してもらってください」は、
Ask your university to issue you a Certificate of In-Campus Dormitory Residency for your stay.
Ask your university to issue you a dormitory identification card during your stay.
で、どうでしょうか?
※issue 発行する
いろいろと調べてみましたが、「在寮証明書」は大学によって表記が異なるようです。
日本国内の大学か、海外のUniversityかにもよりますが、Student Office や International Student Office で、上記の表現で言うように伝えられたらいかがでしょうか。