少なくとも私の経験上、お誕生席という言葉は英語で聞いたことがありません。
会議などでいわゆる「お誕生席」に当たる主賓席（上座）のことはアメリカのビジネスマナーのサイトなどで調べたところ、 the head of the table や the power position と言うそうです。
「お誕生席」と言うユーモアな表現を入れるとしたら、こんな言い方もいかがでしょうか。
Do you want to be a birthday girl and sit in the head of the table?
「誕生日の主役みたいにテーブルの上座に座る？」
（相手が男の人の場合はbirthday boyにしてください）
テーブルの頭に座る人はしばしい特別な位置にいる人、例えば「誕生日を祝う人」を表すことがあります。この位置は「the head of the table」あるいは英米文化では「the power position」とも呼ばれます。
だから、「お誕生日席でもいい？」は、「Do you mind sitting at the head of the table?」（テーブルの頭に座ることを気にしますか？）や「Would you mind if you take the birthday seat?」（誕生日席を取ることを気にしますか？）と表現できます。また、「birthday seat」は直訳ですが、具体的なコンテキストによってリスナーは意味を理解することができます。
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