1日の始まりって英語でなんて言うの？

「始まり」は【Start/beginning】という言い方ができますので、
【The start of the day】【The beginning of the day】で
「一日のはじまり」という言い方が出来ます。

例文: It is nice to have a cup of coffee at the start of the day.
意味: 一日の始まりにコーヒーを飲むのは気持ちが良い。

他には：
It's a new day! 新しい一日だ！
Today is a brand new day! 今日も新しい一日だ！

new day で「新しい一日」を表すことができます。

A brand new day has come! 「新しい一日が始まった！」

brand new とは真新しいという意味になります。例えば、a brand new carといえば、一度も使用されていなく新品の車というようなニュアンスが出ます。

ご参考になれば幸いです。

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：

start of the day
1日の始まり

start は「始まり」という意味の英語表現です。
もちろん動詞として使うこともでき、その場合は「始まる」です。

例：
I always try to stretch at the start of each day.
1日の始まりは、毎日ストレッチするようにしています。

ぜひ参考にしてください。