I happened to see it on TV, so I looked it up on YouTube and watched several episodes.
I happened to see it on TV, so I looked it up on YouTube and watched several episodes.
「たまたまテレビで見かけたので、YouTubeで検索していくつかのエピソードを見た」
happened to 〜 というと「たまたま〜した」というニュアンスになります。
look up on 〜 =「〜で検索する」
最初がseeで、次はwatchなのは、watchの方がしっかり注目して見た感じがあるからです。
どちらを使っても間違いだと言われることはないと思いますが。
episodesにしたのは、そのTV番組の過去の放送回を見たという意味で使っていますが、ただ関連動画を見たのであれば、videosでいいと思います。