偶然テレビで見たのがきっかけでyoutubeで色々探して見たって英語でなんて言うの？

「偶然テレビで見た」の「偶然」は"randomly"とか"by chance"をよく言います！"randomly"のほうが少し砕けた感じがします！

日本人の英語学者がよく困る"saw"と"watched"の使い分けについて、この文章を見るとクリアに分かるかと思います！　普段はテレビを見る時に、"watch"を使いますが、偶然テレビで見た時は”see"を使います。なぜかというと”watch”には意図があって見ようとするという意味合いがあります！ですので、偶然テレビで見たところは"saw"と言いますが、逆に文章の後ろの「Youtubeで探してみた」というところは"watched"と言います！

I happened to see it on TV, so I looked it up on YouTube and watched several episodes.
「たまたまテレビで見かけたので、YouTubeで検索していくつかのエピソードを見た」

happened to 〜　というと「たまたま〜した」というニュアンスになります。
look up on 〜　＝「〜で検索する」

最初がseeで、次はwatchなのは、watchの方がしっかり注目して見た感じがあるからです。
どちらを使っても間違いだと言われることはないと思いますが。

episodesにしたのは、そのTV番組の過去の放送回を見たという意味で使っていますが、ただ関連動画を見たのであれば、videosでいいと思います。