「加入する」というのは「会員になる」ということなので、「I became a member of a sports gym」としてみました。「加入」という表現は「join」で表すことができますが、より自然な表現を考えるなら、「会員になった」と言う方がこなれていると思います。ご参考にしていただければ幸いです。
I bought a new gym membership. / I started a new gym membership.
I subscribed. / I bought a subscription.
「subscribe」はよく雑誌や新聞、ユーチューブのチャネルなどの話しでよく使われる表現です。文にすると、「I subscribed to this channel」とか「I bought a magazine subscription」とか「I became a subscriber」とか言えます。
現代は「subscription service」と言う表現もあります。どういうことかと言うと、毎月や毎年料金を払って特別な製品やサービスを受けることです。日本には同じようなことがあるかどうかよく分かりません。
日本 
アメリカ合衆国 
