〜しましょうかって英語でなんて言うの？

Would you like ~は「～はいかがですか」という意味ですが、
間にmeを入れて、Would you like me to~にすると、
「私に～して欲しいですか？」
↓
「～しましょうか」という意味の丁寧な言い方になります。

例：
Would you like me to print out all the reports?
報告書を全て印刷しましょうか？

参考になれば幸いです。

３つのフレーズありますけれど意味はだいたい同じです。
Would you like me to
Should I
Do you want me to

窓開けましょうか？
Would you like me to open the window?
Should I open the window?
Do you want me to open the window?

お客さんのお茶を準備しましょうか？
Would you like me to prepare tea for the customers?
Should I prepare tea for the customers?
Do you want me to prepare tea for the customers?

Would you like...?
だと、「〜したいですか？」になりますが、
Would you like me to ... ?
だと、「（私に）〜してほしいですか？」という意味になります。

例文
Would you like me to open the door for you?
ドアを開けましょうか？

Would you like me to turn off the AC?
エアコンを消しましょうか？

Would you likeを使うと丁寧なニュアンスになります。

また、ちょっと「お手伝いしましょうか？」と聞くときは、
Could I help?
May I help you?
と聞いたら、手伝ってほしいときは相手のほうから言ってくれるでしょう。

参考になれば幸いです。

Can I　を使いたくないという事なので1) 2)で。
例文です。1) Do you want me to open the window?
2) Would you like me to open the window? より丁寧な言い方は2)です。
友人同士の会話ではDo を省略した形も使われます。
You want me to open the window.