Would you like ~は「～はいかがですか」という意味ですが、
間にmeを入れて、Would you like me to~にすると、
「私に～して欲しいですか？」
↓
「～しましょうか」という意味の丁寧な言い方になります。
例：
Would you like me to print out all the reports?
[報告書](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/54908/)を全て[印刷](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/58024/)しましょうか？
参考になれば幸いです。
３つのフレーズありますけれど意味はだいたい同じです。
Would you like me to
Should I
Do you want me to
[窓](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/51252/)開けましょうか？
Would you like me to open the window?
Should I open the window?
Do you want me to open the window?
お客さんのお茶を[準備](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36245/)しましょうか？
Would you like me to prepare tea for the customers?
Should I prepare tea for the customers?
Do you want me to prepare tea for the customers?
Would you like...?
だと、「〜したいですか？」になりますが、
Would you like me to ... ?
だと、「（私に）〜してほしいですか？」という意味になります。
例文
Would you like me to open the door for you?
ドアを開けましょうか？
Would you like me to turn off the AC?
エアコンを消しましょうか？
Would you likeを使うと丁寧なニュアンスになります。
また、ちょっと「お手伝いしましょうか？」と聞くときは、
Could I help?
May I help you?
と聞いたら、手伝ってほしいときは相手のほうから言ってくれるでしょう。
参考になれば幸いです。
Can I を使いたくないという事なので1) 2)で。
例文です。1) Do you want me to open the window?
2) Would you like me to open the window? より丁寧な言い方は2)です。
友人同士の会話ではDo を省略した形も使われます。
You want me to open the window.
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イギリス 
