｢～につれて｣は接続詞｢As｣を使うことができます。
例：As the story continued, Jamy's character changed and was deepened.(話がすすむにつれてジェイミーの性格が変わり、深められた)
｢～が進む｣は｢go on｣、｢continue｣を使えます。
例：As the weather changes, cherry blossoms have been blooming.(天気が変わるにつれて、桜が咲いていく)
参考になれば幸いです。
the more we talked, the more his personality deepened
the more X, the more X (X はやること・文章を入れることが普通）は日本語の「〜すれば〜するほど」に当てはまります。そして今回の文章の「話が進むにつれて。。」はもちろん as ... を使えますが 「徐々に性格がわかるようになった」と言う気持ちを伝えたいので 「話をすればするほど性格の味が増えた」という日本語にしてからその英訳が the more we talked, the more his personality deepened となります。
the more I saw his personality もいいと思います。自然で、「性格の人間味が増えた」わけじゃなく、「前は性格を少しだけ見えたが話をしていて性格の深みが見えてきた」と言うことです。
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