It hurts when I swallow because my throat is sore.
My throat is sore and because of it, it hurts every time I swallow.
Hello there!
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「喉が腫れている」は"sore throat"と言います。
これを文章にすると下記の通りになります:
"It hurts when I swallow because my throat is sore"は
「喉が腫れているから、(唾を)飲み込むたびに痛む」になります。
2つめは順番を変えてアレンジを加えた言い方ですが、1つが一番簡潔でわかりやすいと思います。
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Hope this helps!