Sorry for persistently sending you so many messages！
「あんなにたくさんメールを送ってしまって、しつこかったらごめんなさい」＝ Sorry for sending you so many messages at once! / Sorry for pestering you with so many messages / Sorry for persistently sending you so many messages
「しつこいは persistentになりますが、「to pester」という表現を使った方が自然です。「～をしつこくする」というニュアンスを与える動詞です。
Sorry if I'm being a little too persistent. I know I've sent you a lot of emails.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
Sorry if I'm being a little too persistent. I know I've sent you a lot of emails.
とすると、「[何度も](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/87607/)メールを送ってしまって、もししつこかったらごめんなさい。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
persistent しつこい、粘り強い
bother 邪魔をする、迷惑をかける
keep reaching out 何度も連絡する
a little too much 少しやりすぎる
参考になれば幸いです。
イギリス 
日本 
