（AとBが）最も接近している地点間の距離って英語でなんて言うの？

The shortest distance between Japan and South Korea is ...km.
「日本の韓国の距離は、最短で…ｋｍです。」

short 形容詞の最上級を使って、shortestを使います。最上級には、必ずtheをつけます。
距離を示す形容詞でしたら、close-closest, near-nearestも置き換え可能です。
反対に、長距離・最も離れている距離は、longest distanceやfarthest distanceとなります。

distance between A and B「ＡとＢの間の距離」
この場合は、Ａが日本、Ｂが韓国ですね。

the closest distance between the moon and Earth「月と地球の最短距離」
the longest distance between Russia and Japan「ロシアと日本の最長距離」

最短距離minimum distance、最長距離maximum distanceという場合もあります。

ご参照有難うございました。