そんなすぐに忘れないよ！って英語でなんて言うの？

この場合の「そんなすぐに忘れないよ」にはどんな意味が含まれているかによって、言う言葉が変わります。

❶ How can I forget you?
これは「あなたを忘れるわけがない」「あなたを忘れるなんてできない」という意味になります。
相手のことが好きなら❶を言いましょう。

❷ I don’t forget that easily
これは「そんなにすぐ忘れるわけないじゃん」または「そんなにボケてないよ」というニュアンスになります。

あなたのことを忘れない＝not forget you又はforget about you.
About はあってもなくても良いです。
willを使った方がbe going toよりも忘れないという気持ちが比較的強く伝わります。