I'm starting to understand how he feels/felt=彼の気持ちがだんだん分かってきた
I understand how he feelsだと「彼の気持ちが分かる」なので「starting to understand」と言う表現の方がこの場合的確です。
気になる映画が出る前にやきもきしていたお友達なので、もう映画が出ていてやきもきしていないのでこう言う時は
I understood how he felt
と言いましょう
I understand how he feels
だと今現在そのお友達の気持ちを質問者さんが「分かってきた」と言う意味になりますので少し違いますね。少し前のお友達の気持ち、つまり過去形なのでhow he feltになります。