実は非常に難しい問題です。
まず「[よろしくお願いします](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/24811/)」に対応する的確な英語はありません。
初めて会った時の「よろしく（[お会いできて嬉しいです](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/4841/)）」は Nice to meet you などがあります。
初対面後、別れる時に「今後もよろしく（今回は会えてよかったです）」みたいなものは、It was nice meeting you と言ったりします。（ちなみに二度目以降は It was nice seeing youです）
と、このように状況によって全く異なります。
クラブ活動が始まる前で「これからの時間が楽しみです」という意味でしたら
I’m looking forward to spending time together. （一緒に過ごす時間が楽しみです）
I’m looking forward to spending time with you.（あなた方と過ごす時間が楽しみです）
とは言えるかなと思います。
spend time は「時間を過ごす」、together は「一緒に」、with you は「あなたと一緒に」となります。
先輩後輩の感覚も日本のようにありませんので、丁寧語などは特に気にしなくても大丈夫です。
[よろしくお願いします](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/24811/)という表現は英語にはありません。日本ではわりと色んな場で使えるフレーズであり、その状況によって意味がかわると思います。英語だと、その時の状況によって適切なフレーズを使うしかありません。なので、これから同じクラブで水泳を一緒にするのでよろしく、ということなのであれば、次のような言い方はいかがでしょう？
I look forward to spending more time together! = これから一緒に時間を過ごすのを[楽しみにしています。](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/49659/)
I hope to have lots of fun together! ＝これから一緒に楽しめることを期待しています
It's really good to meet you = 本当に出会えてうれしいです。（初めて会う場合）
また、英語だと日本とは違って敬語などはないので、上記のような言い方でも年上の方に対してでも特に悪くは思われないはずです。どうぞご参考までに。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
Nice to meet you!
初めまして！（よろしくね！）
I look forward to swimming with you!
一緒に泳げるのを楽しみにしているよ！（よろしくね！）
look forward to は「楽しみにしている」という意味の英語表現です。
ぜひ参考にしてください。
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