I’m thinking how to live a better life.
【訳】より良い人生を生きるにはどうすべきか考えています。
（今まさに考えているので「残りの」は文脈に含まれているとされて省略）
I’m wondering how to spend the rest of my life.
【訳】残りの人生をどう生きようか悩んでいます。
（「よりよく」が文脈に含まれているとされて省略）
両方を無理に入れると野暮ったくなる印象です。
thinkは広い意味の色々「考えている」ですが、wonderは頭の中で？？？と考え込んでいるイメージで、答えがなかなか自分では出せない感じが強くなります。
また、人に意見を言う時に I am thinking〜 と言うと「私は〜〜と思う」で、I am wonderingは「私は〜〜と思うけど…」と若干控えめな印象になります。
I want to start a new thing.
【訳】新しいことをやってみたい。
I want to live a better life. I have to change.
【訳】より良い人生を生きたい。私は変わらなければならない。
I think I can do better.
【訳】私はもっとよくできると思う。
などが今思われている気持ちの表現に使えるかなと思います。
"I'm considering what to do differently in the rest of my life to make it better."
あなたが表現したい「残りの人生で何を違うことをして、よりよく生きるかついて考える」を英語で表現する際、「I'm considering what to do differently in the rest of my life to make it better.」や「I'm pondering over how to make the most out of the remaining years of my life.」と表現できます。
"consider" は「熟慮する」、"ponder over" は「〜について熟考する」という意味で、自分の人生について深く考える感情を表現するのにぴったりの単語です。そして "make the most out of ~" は「〜を最大限に活用する」、つまり「一番良い結果を得るために努力する」を意味し、 "the rest of my life" が「残りの人生」という意味になります。
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