I missed the first half of the sentence. Could you repeat it?
I couldn't catch the first half of the sentence. Would you mind repeating it?
"I missed the first half of the sentence."で「その文の前半を聞き逃しました」、"I couldn't catch the first half of the sentence."で「その文の前半を聞き取れませんでした」です。"sentence" 「文」を"paragraph"「段落」や"passage"「一節」に置き換えて使うこともできます。
"Could you repeat it?"で「それを繰り返していただけますか？」です。「その部分だけ」と強調したい時には"just"「〜だけ」を使って"Could you repeat just that part?"と言っても良いでしょう。"Would you mind~"は"Could you~"よりもさらに遠回しで丁寧な表現です。
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