好き放題だね、やりたい放題だねって英語でなんて言うの？

「好き放題する」は英語で do as he likes になります。
なので、
「彼は好き放題している」= He is doing as he likes.

「好き放題、やりたい放題、自由にする」はすべて同じ意味なので、同じ訳し方で大丈夫です。

「whatever」は「なんでも」「どんなことでも」という意味なので「自由性」を表します。
「好きななんでもをやっている」 He's doing whatever he likes.
「やりたいことばかりやっている」He's doing whatever he wants to.

wants to の最後の to は元々の want to do X から残っています。do のところが whatever の部分で被っているから to が残らさせちゃった。