面倒を見るよう押し付けられてしまったって英語でなんて言うの？

状況的に自分がやるしかないという感じですよね。 この場合は、be forced to～「～するよう強いられる」を使うといいと思います。そもそも自分の意思ではないので、このような受身の表現の方がぴったりきますね。 他には覚えやすい感じだと、have no choice but to...というのがあります。これは直訳するとほかに選択肢がなかったという感じですね。これもやむをえず感が出ると思います。