もう少し飲みませんか？って英語でなんて言うの？

例文１を直訳すると「もう少し飲みたい気分ですか？」となり「もう少し飲まない？」というニュアンスになります。
Do you feel like 動詞のing~? で「〜したいですか？」「〜な気分ですか？」

例文２のように簡単に「もういっぱい飲もうよ。」とも言えます。

How about another one / round? 「もういっぱいどうよ？」と言うこともできます。

ご参考になれば幸いです！