"Somehow I managed to go in time for my flight."
「なんとかフライトに間に合った」直接の翻訳です。"somehow"は「なんとか」で、"to manage to go in time"は「間に合う」に相当します。
"I managed to reach on time for my flight."
「フライトに間に合った」この分では"reach"（届く）を使いました。
なお、二つの文でも"in time"も"on time"も使える。しかしその表現は少し違ったニュアンスを表してる：
"in time"は「遅刻していない」とか「より早く来た」という意味を持っています。
"on time"は「きっちり、時間どおりに」に相当します。
参考になれば幸いです。
「なんとかしてフライトに間に合った」
somehow「なんとかして」
manage to「どうにかして～する」
I had only 10 minutes, but I managed to finish the work on time.
「10分しかなかったが、何とか時間通りに仕事を終わらせた」などと言うことができます。
catch「（バスや電車、飛行機など）に間に合う」
catchの反対語、つまりは「～に遅れる」はmissです。
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