let one's beard grow long/longer と言うと、「ヒゲを伸ばす」という意味になります。
I'm going to let my beard grow longer.
「ヒゲを今より長くする。」というニュアンスです。
let one's beard grow と言うと、「ヒゲをはやす」「ヒゲを伸ばす」どちらの意味にでも取れます。
grow a beard と言えば通常は「ヒゲをはやす」という意味になります。
I'm going to grow a beard.
「ヒゲをはやします。」
ご参考になれば幸いです!