荷物を片付けてほしい、というニュアンスで「これしまっておいて」って英語でなんて言うの？

「しまう、片づける」はput awayを使うと簡単に表現できます。

元の位置に片付けておいてください、という意味で、
簡単に言うならばこの一言で十分です！

※①は、to your room, on the bookshelf のように場所を明確に言いたい場合
②は「片づける場所は、あなたが分かってるでしょ。とにかくココからはどけてね」といいたい場合です。

【情報処理プロセスポイント】
・頼む時の公式→Can you ---, please?
・片づける/しまう→いづれにしても　「ポン」と置いたり入れたりするような動き→【原理動作】の　put+「どういう風に」 →　put +away（ここから遠ざかる感じ）

"where it belongs" は「あるべきところ」という意味なので「しまう」というより元にあった場所に戻して、という意味になります。その物がどこから持って来た物かによって使い分けてみてください^_^