Please don't overtire yourself out from nursing your mother.
Please don't over stress yourself from looking after your mother.
「(誰かを)看病する」→「To look after(Someone)、To nurse(Someone)」
「Your mother」→「あなたのお母様」
「~疲れが出ないように」は、英語で「無理しないで」というんです。
なので、「Overtire, Over stress」→「無理しすぎる、疲れすぎる」
まとめて言いますと、
「Please don't overtire yourself out from nursing your mother.」
「Please don't over stress yourself from looking after your mother.」
と表現しましょう。
どちらでも通じます。