ハイボール濃い目でお願いします！って英語でなんて言うの？

「ウィスキーのソーダ割りをウィスキーを少し多めでください」

ハイボールとは日本で言うところでウィスキーのソーダ割りでよろしかったでしょうか。
ウィスキーのソーダ割り: whisky and soda/ whisky with soda

英語にもハイボール：highballという飲み物はありますが、様々なお酒をベースにソーダ水に限らず水、ジュース、などで割った飲み物を指します。注文する時はどのお酒を何で割るかを伝える必要があります。

「濃い目」と頼みたい時は、
「ちょっと多めで」a little more
「ちょっと強めで」a little bit stronger
を使えば伝わります。

Can I have a whisky and soda? And can you make it a little stronger please?

ハイボールはあまり英語で使わない言葉な上、辞書で調べるとスピリッツ（ジン、ウィスキー等）とそれより多くの量の割ものを足したもの、と記載されています。ほとんどの場合ウィスキーとソーダを割ったものを指しますが、基本的にはカクテルと言う意味なのでハイボールじゃなくてウィスキーソーダと言っちゃうのが無難です。

Make it strongと言うと通常より少し多く、通常の二倍だとextra shotやdoubleと言います。いずれも値段が上がる事が想定されるので時前に確認しておきましょう。

海外のバーではチップ制のところが多いです。お会計が高かろうが低かろうが、バーテンダーの手元に直接入って来るのはチップなのでここを惜しまず多く出すと融通をきかせてくれる事が多いです。大したサービスでもないのに高いチップなんか払うものか！なんて言っていても何も解決しないのでここはすんなり奮発して強いお酒を作ってもらうようにしむけましょう。

もう十分ご回答集まっていますが、「濃いめでお願い」は"Make it dry"も簡単です。いわゆる「辛め」です。
本来"Dry"なドリンクは糖分が少な目なことを指すような気もしますけど、文脈で十分通じると思いますね。

ちなみに「辛め」の意味で使う"Dry"の場合、反対語は"Sweet"です（"Wet"ではない）。ここからも、やっぱり糖分の量が本来かなって思いますね。

蛇足として豆知識ですけど、Whisky（最後が"ky"）はスコッチ、カナディアン、ジャパニーズ、Whiskey（最後が"key"）はアイリッシュとアメリカンです。

Can you...? の代わりに、Would you...? や Give me...もよく使われます。

いろいろな飲み方：
neat / straight（ストレート）
on the rocks（オンザロック）
a single（シングル）
a double（ダブル）