I applied for a job in the store but was turned down.
I applied to the store but was rejected.
「その店で働きたくて応募したけどダメだった。」は、
"I applied for a job in the store but was turned down."
'I applied to the store but was rejected."
と言ったり出来ます。
「~に応募する」は、
"apply to (会社や学校など)"
”apply for (仕事や奨学金など)”
「ダメだった、断られた」は受動態を使って、
"be turned down"
"be/ get rejected"
"be refused"
"be denied"
と言ったりします。
ご参考になれば幸いです。