ここではなるべく、実際に自然に使われている表現や単語、会話の流れ的におかしくない言い方や違和感のないネイティブ表現を伝授する場という前提でアドバイスさせていただいております。逆に言うと、これらのことを配慮せずにただ単にご質問いただいた内容を英語に “変換” するだけなら辞書で済んでしまうはずですね。
従って「[私](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52728/)の方は」という表現を実際使うとなると、話をふられていない状況で自ら声をあげる、または、他の誰かの話の中で、「私[の場合は](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/3965/)」という意味で使われることが大抵のケースであると感じますが正解でしょうか？
ということであれば、まず、この部分、「私の方は」という表現をいくら正しく使っても、この部分は決してこれから言う内容のメインなポイントにはならないので、この部分が原因で “伝わっている気がしない” ということは無いのでは？と思います。恐らくですがその後の部分？という気がしちゃうんですね。
その理由の一つに、「話をふられてもいない状況で自ら声をあげる」、または、「他の誰かの話の中で “私の場合は” 」という状況では ”無い” 場合は、あえて「私の方は」という表現から会話を始める必要は全くなく、単に「私は」という主語を 「I」から普通に始めた方がよっぽど自然に聞こえる表現になることと思います。
これがとても解りやすい例としては、まさにご説明いただいた背景の中の文；
「as for me, I went to Tokyo yesterday.」
この文をこのまま日本語に訳しても、「私の方は、私は昨日東京に行きました。」という感じになってしまい、英語のニュアンスもまたこれと全く同じように聞こえちゃんです。
従ってこの文は、「I went to Tokyo yesterday.」と言う方がよっぽどスッキリして意味、ニュアンス、また相手に何を伝えたいのか、というポイントに絞ってもっと伝わり易くなるはず。
従って、”話をふられていない中で自分の場合を自ら声をあげて言う” という状況の中でしたら、”as for me" で全く問題無く、他には、”in my case" (私の場合は）という表現でもいいと思いますが、もしこれでも伝わらないということであれば、単なる文頭で話を切り出す部分に過ぎないこの部分が原因ではないことと思います。
少し参考になりましたか？ 英語でも日本語でも、それぞれの表現や熟語などを無理に押し込んで使うのではなく、自然な流れの一環として使えるようまた色々研究してみてください。
ちょっとでもお役にたてたら嬉しく思います。英語がんばってくださいね～！！
なんか、すごく難しくお考えな気がしました。
別に「決まり文句」なんて要りませんよ。
Oh, I went to Tokyo yesterday.
あ、昨日、東京に行ったんですよ。
こんな感じで思い出したように言ってみるのも一つの手だと思います。
敢えて決まり文句的なものを使いたいのであれば、
Not to change the subject, but I went to Tokyo yesterday.
話は変わりますが、昨日東京に行きました。
なんていかがでしょうか？
日本 
