I tried to ask her LINE account but she refused politely.
「連絡先」はcontact details やcontact informationになりますが、固すぎて普段はあまり使いません。口語的には「電話番号」「メールアドレス」「facebook, twitter, LINEなどのID」のいずれかを言うことが多いと思います。
I asked her phone number but she rejected nicely.
【訳】彼女に電話番号をたずねたけれど、優しく拒否された。
I tried to ask her LINE account but she refused politely.
【訳】彼女にLINEのアカウントをきこうとしたけれど、礼儀正しく拒否された。
refuseもrejectも「断る」「却下する」「拒否する」という意味になります。
nicelyは単に優しく、politelyは丁寧に、敬意を持ちつつという感じです。
切ないですね…でも欧米の方ですと結構はっきりNOと言う人もいるので、まだ傷は浅い方だと思います!