鼻や口の奥は「Back of the ....」です。
ただ、口の奥は、喉の奥のことでしょうか？
口の奥がどこだかよく分かりませんが、炎症したりするのは「Back of the throat」だと思います。
他にも Tonsilitis と言う「扁桃腺」病気もあります。
魚の骨が喉に刺さった時は「I have a bone stuck in the back of my throat!」。
特に鼻や口や喉の場合、奥は英語でbackになります。
でも、それと違って、耳の場合、insideになります。
直前から入る物の奥はbackになると思います。
ご質問された内容の回答は以下になります。
「鼻の奥に膿が溜まっているらしい」は
There is a buildup of pus in the back of my(your) nose.になります。
「口の奥に口内炎が出来た」は
There is an ulcer in the back of my(your) mouth.になります。
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