お手数お掛けします、は英語でなんて言うの？

I appreciate your cooperation. 　＝「ご協力ありがとうございます」、英語だと「申し訳ないけど何々して下さい」と自分を下げるよりも「何々してくれてありがとう」「感謝します」と対等に振舞うほうが一般的です。 ただ場面や相手にもよるので、もっと丁寧に言いたければ I am sorry to trouble you, but I appreciate your cooperation. のように気遣いの言葉を入れるとよりよいです。 丁寧にお願いしたいときはシンプルに ”Would you...？" もよく使われます。

依頼する内容の後に付けるには、1番目がお手数取らせますが、というニュアンスになると思います。 2番目と3番目は、作業などを依頼する際の文頭の表現として一般的です。 I'm sorry to bother you with this though... という言い方も決して重すぎるわけではありません。

I really appreciate your help. ご協力いただき本当に感謝いたします。 上記のように英語で表現することもできます。 appreciate は「感謝する」という意味の英語表現です。 ご質問の直訳とは少し違いますが、このような言い回しもできます。 お役に立てればうれしいです。 またいつでもご質問ください。