It is getting closer to the day that I will not be able to see you ever again.
確かに好きな人との別れは大変ですよね。I am overwhelmed with tears, when I think that as every day ends, it is getting closer to the day, that I will have to say goodbye to you.は わたしは毎日一日が終わる時に、涙がこぼれます、何故ならあなたにさようならを言わないといけない日が近づいてるからですという意味です。
Overwhelmed with tearsは涙が思わずこぼれてくるという意味です。When I think that as every day endsは毎日寝るときか、午前12:00にあなたのことを考えますという意味です。I will have to say goodbye to you というのはあなたにさようならを言わなきゃいけないという意味です。お役に立ちましたか?^^
The day is approaching when we will have to part ways.
We will have to say goodbye someday soon.
「もう会えなくなる」を他に言うと「別れる」または「離れていく」と言うことなんですね。そういうわけで、英語で言ったら「part ways」や「go our separate ways」と言えます。それに、人と別れる時に「goodbye」と言いますから、「もう会えなくなる日」を英語で言うために「time to say goodbye」も言えます。
場合によって「~なくなる」を英訳すると「not anymore」とか「running out」と言いますので、「Our time together is running out」と言っても大丈夫です。