ここの「遅くなってもいけないし」は次のように言えます。
ーIt's not good for me to stay up late.
この場合、次のように言うのも自然です。
ーI better have a shower soon, so I'm not up too late.
「寝るのが遅くならないよう、早めにシャワーを浴びよう」
ご参考まで!
I think I'll take a shower early today. I shouldn't stay up late.
I should take a shower early today. I don't want to stay up late.
I think I'll take a shower early today. I shouldn't stay up late.
【訳】今日は早くシャワーを浴びようと思う。遅くまで起きてちゃいけないしね。
stay up late =「遅くまで起きている」です。「寝るのが遅くなる」と言うよりは「遅くまで起きない」と言う表現を使う方が多いと思います。
I should take a shower early today. I don't want to stay up late.
【訳】今日は早くシャワーを浴びるべきかな。遅くまで起きたくないし。
という言い方もありだと思います。あとはお好みですね。