今日は元気がないねって英語でなんて言うの？

She look down today.
【訳】今日彼女元気がないね。

down ＝「元気がない」「テンションが下がっている」という感じです。

ただ、look down は「見下す」という意味もあります。文脈的に勘違いする人はいなさそうですが、一応知っておくと良いと思います。

She doesn't look well today.
【訳】今日、彼女、調子悪そう。

体調が悪そうな意味も含まれてきます。

She is not その人の名前 today.

おそらく「その人らしくない」という意味ですよね？ 話の流れでは分かると思います。

ですが、例えば、

What's wrong with her today? That's not ●●!
【訳】彼女、今日どうしたの？ あれは（いつもの）●●じゃない！

This is not you! You are acting weird today!
【訳】こんなのあなたじゃないよ。今日様子が変だよ！

という感じの方がわかりやすい気がします。

そうですね。

一般的にそういう風に言われています。

She is not その人の名前 today とか She is not herself today で言います。

他の言い方としては She is having a bad day でも言えますね。

参考になれば幸いです。