服がイスに引っかかってしまったって英語でなんて言うの？

この場合は catch の過去形で caught が使えます。

「（イスから）降りるときに、服がイスに引っかかってしまった」
"My clothes got caught in the seat when I got up (from my seat)" など

前の方の回答のように get caught で「引っかかる」と言えます。
その他、
1) My pants got snagged on the chair when I stood up.
「立った時にズボンが椅子に引っかかった。」
とも言います。
snag には「引っかかる」という意味があります。

ご参考になれば幸いです！