その時間しか空いていないって英語でなんて言うの？

その時間しか空いていないとお客さんに伝えるなら「That's the only time I am available」が良いと思います。

上記は丁寧でも失礼でもありませんが、もっと洗練した英語もあります。
「Unfortunately, I am only available at that time」みたいに、前に「残念ながら」を入れることで少し気持ちを込めることで、丁寧さを表現できます。

お客様に対してその時間しか空いてないと言いたい場合は
available という単語を使う方が良いです。

「その時間帯しか空いていないです」
"I'm only available in those hours" など

細かく言うと○○時から○○までと言う方が明確です。
from until など。