皿洗いをどちらがするかで喧嘩しなくてよくなったって英語でなんて言うの？

喧嘩しなくてよくなったは　We don't fight anymore　または　We stopped fightingと言います。
「～で喧嘩する」は英語で 'fight over ~'ですね。
皿洗いは'do the dishes'
この文書は両方の後ろに 'since we bought a dishwasher.' をつけると「食洗機を買ったことで」の意味も加えることができます。

1) Now that we have a dishwasher we don't argue over who does the dishes.
「食洗機を買ったから、誰が皿洗いをするかで言い争わなくなった。」
argue over/argue about で「〜について言い争う」

2) Since we bought our dishwasher we no longer fight over who has to do the dishes.
「食洗機を買ったので、誰が皿洗いをするかで喧嘩をしなくなった。」
fight over/fight about で「〜について喧嘩をする」
no longer で「もはや〜でない」

ご参考になれば幸いです！

Bicker over～＝「（つまらないこと）～で言い争う」
Now that～＝「今や～だから」
No longer need to～＝「もう～する必要がない」

Now that we have bought a dishwasher, we no longer need to bicker over which of us has to do the dishes anymore.
「食器洗い機を買ったので、もう私たちのどちらが皿洗いをするかということで言い争う必要がなくなった」