You can't sign up now because of a problem with the system.
Sign up is closed for now because of a system problem.
提案した文章の違いは受け身にするかしないかということです。
お客さんに自然に伝える方は "You can't sign up now because of a problem with the system." です。you can't sign up now は「今は受付ができない」で、 because of a problem with the system は 「システムの問題があるから」です。because of は名詞が繋ぐ時に使います (a problem)。「〜の問題」の「の」は with に訳します。
全体的に受け身にしたい場合(例えば、知らせなどの用の文章にしたかったら)、"Sign up is closed for now 「ただいま・しばらくの間、受付は 完了しました」"because of a system problem" 「システムの問題がありますから。」
system problem と problem with the system の意味はだいたい同じです。名詞の修飾する方法が異なっているだけです。system problem の system は正式に形容詞として使われているのでより確実的にシステムの中の問題だと表しています。"a problem with the system" に入れ替えても意味がまんざら変わりません。その方は原因をちょっと曖昧な風に伝えます。