上記の英訳文はいかがでしょうか。
直訳すると、一つ目の英訳文は「（私は、）今日は勉強するために家にいます。」、二つ目の英訳文は「（私は、）今日は家で勉強します。」となります。
もし、ホームステイ先の子供を迎えに行けないことを詫びたいのであれば、
I'm sorry that I can't go with you to pick up the kids.
と付け加えれば、伝わります。
なお、「待ってるね。」は、"I'm waiting for your coming back."で良いです。
お役に立てれば幸いです。
I think I will stay home and study today, I will be waiting for you.
「今日は家で勉強しておくね」を簡単にいうと
'Today I will stay home and study.'
もうちょっと優しくいうと「今日は家で勉強して待ってるね」がいっしょに行かない申し訳ない気持ちを表します。次のように言えばいいと思います。
'I think I will stay home and study today, I will be waiting for you.'
謝るべきなことだと思ったら文書の前に 'Sorry, ' をつけてもいいでしょう。
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