網戸= screen door
網= net, *screen*
網を調べたら "net"という定義が出ますが、網戸の網は "net" とは言いません。"Screen"と言います。なので、Asuraさんの例文は英語にすると、"There is a hole in the screen door." です。もし網戸についてすでに話しているなら、"There is a hole in the screen." でもいいです。網戸について話しているから「網」と言いたら、相手が網戸の網だと分かるから、「網戸」をもう一度いう必要はないです。
ちなみに、窓網戸=window screen. "There is a hole in the window screen." とも言えます。
そして、「(私は)修理しないといけないと思います。」は英語で、"I think I have to repair it." です。
修理する=to repair
~しないといけない=have to ~
と思います= I think
網戸 は screen door や window screen と言い、網戸の網は screen と言います。
There is a hole in the screen (in your window).
「(窓の)網戸に穴が空いている。」
または、
There is a tear in the screen.
「網戸に破れ目がある。」
ご参考になれば幸いです!