握る、掴む、持つという単語は状況によって使い分けるといいと思います。
Hold onto the handrail when riding the escalator. 「エスカレーターに乗る際には手すりにおつかまり下さい」
Grip the baseball like this. 「バスケットボールをこうやって掴んで」
This is my first time moulding sushi. 「初めて寿司を握ります」
これは一つの言い方が grip です。例えば「車のハンドルを握る」は grip the steering wheel になります。
もう一つの言い方は hold onto です。しかし、hold onto は ○○にならないように握るというニュアンスがあります。例えば Hold onto the handrail, so that you don't fall（落ちないように手すりを握って）と言えます。
ご参考になれば幸いです。
●He grabbed my hand
彼は私の手を握った (例えば危ないシチュエーションから逃げるときに、女性を助けるために、彼は彼女の手を握って走った）
●Grab this!
これ取って！（バーゲンコーナーで友達にものを進めるとき）
grab=ややカジュアルな言い方です
●hold on
He held my hand the entire time.
彼はずっと私の手を握っていた。
entire time= ずっと〜
ご参考になれば幸いです。
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