主張するようになったと言うのは意見などを主張するように
なったということでよろしいでしょうか。
「その経験を通して、彼は〜だと主張するようになりました」
"Through his experience, he's come to express that ー" など
この場合の ようになる は come to などで表現してます。
至ると言った感じです。
To insistは、より論議中で、ちょっと「どうぞ」の柔らかいニュアンスですので、「主張する」という言葉をadvocateと解釈しました。
また、「その経験」の「その」は英語でthatになりますね。
advocateの後、forをよく付けます。
例えば、
He advocated for application of statistics to the problem
その問題に統計を応用するよう主張した
He advocated for the death penalty to be abolished
死刑の廃止を主張した
ご参考になれば幸いです！
日本 
アメリカ合衆国 
