「〜しましょう」は let's の他に should や why don't you ? を使って言うことができます。
これは例えば、「[運動](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/35124/)しましょう」と勧める場合、あなたは相手が運動した方が良いと思っているわけなので、should や why don't you が使える訳です。
You should get some exercise.
You should study.
Why don't you exercise?
Why don't you study?
Let's ... は「([一緒に](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52139/))〜しましょう」のようなニュアンスになります。
ご参考になれば幸いです!