「痰」は phlegm の他に sputum とも言います。
You have to cough up as much sputum as you can in order to get better quickly.
「早く良くなるために出来るだけ痰を出した方が良い。」
または phlegm や sputum を使わず、nasty stuff 「汚いもの」を使って下ようにも言えます。
When you have a cold you need to spit up all that nasty stuff so you can get better quickly.
「風邪の時は早くよくなるよう痰を出した方が良い。」
ご参考になれば幸いです！
1.) phlegm (痰) 「痰」は英語でphlegmと訳せます。つづりはちょっと難しそうだけど、発音はフレㇺ（phlegm）と似ています。Phlegmは風邪が治る時、咳をすると緑のものが出るということです。
例えば、
You get over your cold quicker when phlegm comes out. (痰が出るようになると風邪の治りが早くなります)
日本 
アメリカ合衆国 
