Prisonとjailは相当します。Prisonもjailもよく使われている言葉です。同義語と思われますがニュアンスがあります。Jailは歴史的に自治体（郡、市町村）が管理する施設で短期的に留置される場所です。Prisonは国（または州）の管轄で設けられた施設でより長期的に入所されます。Jailの方は使い古しの小さい施設を想像させます。
また、最近刑務所をcorrectional facilityとも呼んだりします。Correctionは「矯正」でfacilityは施設です。つまり、人間を閉じ込める施設より人間を矯正する施設としての役割を示す呼び方です。正式的な場面でしか使わない言葉ですので日常会話でお使いになりましたら不自然に聞こえてしまいます。
例文：My uncle is in jail for a crime he did not commit.
(うちの叔父は彼が犯していない犯罪で投獄されている。）
例文：It is the policy of the United States government to place people convicted of crimes into correctional facilities.（有罪判決を受けた者を矯正施設に入所させるのが米政府の政策である。）
「刑務所」が英語で「Prison」か「Jail」と言います。ほとんどの場合、どっちでも使えます。
例文：
オーストラリアで、刑務所跡地のツアーに参加しました。 ー In Australia, I went on a tour of a prison/jail.
刑務所に入れる ー Put him in prison/jail
彼は殺人の罪で刑務所に入れられた ー He was sent to prison for murder.
彼女は彼に面会するため刑務所に行った ー She went to the prison to visit him.
参考になれば嬉しいです。
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