これの正式名 National Foundation Day ですが、海外の建国記念日は大体 National Day と言います。
他の国から独立した国であれば Independence Day（独立記念日）の方が多いです。
アメリカの独立記念日は夏なので、その日にアメリカ人はよくバーベキュしたり、海に行ったりします。
例：
Today is National Foundation Day.
今日は建国記念日です。
ご参考になれば幸いです。
National Foundation Day is a Japanese public holiday where the founding of Japan as a country is celebrated.
"National Foundation Day"です。
"national"は「国民」や「国家的」という意味です。"foundation"は「創立」や「設立」なので、国の話なら「建国」という意味になります。
何の祝日かを説明するときにはこのように相手に伝えられます。
"National Foundation Day is a Japanese public holiday where the founding of Japan as a country is celebrated."
「建国記念日は建国を祝う日本の公休日です。」
"public holiday"というのは公休日です。”celebrated"の代わりに"observed"も使えます。
ちなみにアメリカは似てるようなものをあげると独立記念日があります！
アメリカの独立記念日は "Independence Day" と言って、7月4日にお祝いします。
「建国記念日」は National Foundation Day と言います。
National Foundation Day of Japan is based on the myth called “Nihon Shoki”.
「日本の建国記念日は『日本書紀』と呼ばれる神話に基づいている」
補足として他の祝日の英訳を紹介します。
「勤労感謝の日」 Labor Thanksgiving Day
「憲法記念日」 Constitution Memorial Day
「成人の日」 Coming-of-age Day
などがあります。
英語で日本語の「建国記念日」との言葉は「Proclamation day celebration」または「Founders day celebration」と言います。他に様々なフレーズもつかえます。例えば「Foundation day celebration」です。
海外でも似ている記念日がありますが、国がどのように建国されたかによって言葉も違います。例えば、戦争後に建国された国の記念日の事を「Independence day celebration」と言えます。
「例文１」
ラトビアの建国記念日は１１月１８日に行われています。
Latvia's proclamation day celebration is on November 18th.
「例文２」
アメリカの建国記念日は７月４日に行われています。
The American day of independence celebration is on July 4th.
英語で建国記念日はNational Foundation Dayと言います。それでも一般的なアメリカ人にこう言ったら理解できる人が少ないと思いますので Japanese National Founding Dayを言った方がいいかもしれません。
このような記念日の名前は国によって違いますから、必要な言葉を覚えるしかないと思います。
例：
日本：National Foundation Day
USA：Independence Day
中国：National Day of the People`s Republic of China
etc etc.
アメリカ合衆国 
フィリピン 
ミャンマー 
ラトビア 
